矩阵的特征值（eigenvalue）和特征向量（eigenvector）在很多应用中都具有重要的数学和物理意义。Jacobi 旋转法是一种用于计算对称矩阵特征值和特征向量的迭代方法。

  本文将详细介绍 Jacobi 旋转法的基本原理和步骤，通过一个具体的矩阵示例演示其应用过程，并给出其Python实现。

  Jacobi 旋转法的每一次迭代中，需要选择一个非对角元素最大的位置，然后构造相应的旋转矩阵，进行相似变换，使得矩阵逐渐对角化。

  Jacobi 旋转法的基本思想是通过一系列的相似变换，逐步将对称矩阵对角化，使得非对角元素趋于零。这个过程中，特征值逐渐浮现在对角线上，而相应的特征向量也被逐步找到。下面是 Jacobi 旋转法的基本步骤：

选择旋转角度： 选择一个旋转角度 θ，通常使得旋转矩阵中的非对角元素为零，从而实现对角化，通常选择非对角元素中绝对值最大的那个作为旋转的目标。

构造旋转矩阵： 构造一个旋转矩阵 J，该矩阵为单位矩阵，只有对应于选择的非对角元素的位置上有两个非零元素，其余位置上为零。这两个非零元素的值由旋转角度 θ 决定，例如，对于 2x2 矩阵，旋转矩阵可以表示为： J = [ cos ⁡ ( θ ) − sin ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) ] J = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} J=[cos(θ)sin(θ)​−sin(θ)cos(θ)​]

相似变换： 计算相似变换矩阵 P P P，即 P T A P P^TAP PTAP，其中 A A A 是原始矩阵， P P P 是旋转矩阵，计算过程如下：

P T A P = [ cos ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( θ ) − sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) ] T [ a 11 a 12 a 12 a 22 ] [ cos ⁡ ( θ ) − sin ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) ] P^TAP = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} PTAP=[cos(θ)−sin(θ)​sin(θ)cos(θ)​]T[a11​a12​​a12​a22​​][cos(θ)sin(θ)​−sin(θ)cos(θ)​]

  通过矩阵相乘计算，我们可以得到 P T A P P^TAP PTAP 中的非对角元素，假设这两个元素分别位于矩阵的 (1,2) 和 (2,1) 的位置。令 a i j a_{ij} aij​ 为这两个元素，即 a i j = a 12 = a 21 a_{ij}= a_{12} = a_{21} aij​=a12​=a21​。

  接下来，我们希望通过选择合适的 θ \theta θ使得 a i j a_{ij} aij​ 变为零，从而达到对角化的目的，即 a 12 = a 21 a_{12} = a_{21} a12​=a21​，进一步可推导出

θ = 1 2 arctan ⁡ ( 2 ⋅ a i j a i i − a j j ) \theta = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{2 \cdot a_{ij}}{a_{ii} - a_{jj}}\right) θ=21​arctan(aii​−ajj​2⋅aij​​)

迭代： 重复步骤 1-3，直到矩阵 A 的非对角元素都趋于零或满足一定的精度要求。

提取特征值和特征向量： 对角线上的元素即为矩阵 A 的特征值，而 P 中的列向量即为对应于这些特征值的特征向量。

  对于矩阵 A = [ 2 − 1 0 − 1 2 − 1 0 − 1 2 ] A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix} A= ​2−10​−12−1​0−12​ ​

  我们首先找到非对角元素中绝对值最大的元素，这里我们以 (2,1) 为例，计算旋转角度和旋转矩阵。

选择旋转角度：

  计算旋转角度 θ \theta θ公式： θ = 1 2 arctan ⁡ ( 2 ⋅ a i j a i i − a j j ) \theta = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{2 \cdot a_{ij}}{a_{ii} - a_{jj}}\right) θ=21​arctan(aii​−ajj​2⋅aij​​)其中， a i i a_{ii} aii​和 a j j a_{jj} ajj​ 分别是矩阵的对角元素，而 a i j a_{ij} aij​ 是非对角元素，即 a 21 a_{21} a21​。 在这个例子中， a 21 = − 1 a_{21} = -1 a21​=−1， a 11 = a 22 = 2 a_{11} = a_{22} = 2 a11​=a22​=2。

θ = 1 2 arctan ⁡ ( − 2 0 ) = − π 4 \theta = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{-2}{0}\right) = -\frac{\pi}{4} θ=21​arctan(0−2​)=−4π​

构造旋转矩阵：

J = [ cos ⁡ ( θ ) − sin ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) ] J = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} J=[cos(θ)sin(θ)​−sin(θ)cos(θ)​]

对于 θ = − π 4 \theta = -\frac{\pi}{4} θ=−4π​：

J = [ cos ⁡ ( − π 4 ) − sin ⁡ ( − π 4 ) sin ⁡ ( − π 4 ) cos ⁡ ( − π 4 ) ] J = \begin{bmatrix} \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) & -\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) & \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) \end{bmatrix} J=[cos(−4π​)sin(−4π​)​−sin(−4π​)cos(−4π​)​]

计算得：

J = [ 2 2 2 2 − 2 2 2 2 ] J = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} J=[22 ​​−22 ​​​22 ​​22 ​​​]

相似变换：

计算相似变换矩阵 P P P：

P T A P P^T A P PTAP

在这里， P P P就是构造的旋转矩阵 J J J。

迭代：

重复上述步骤，直到矩阵足够接近对角矩阵。

  这个过程会一步步地使矩阵趋近于对角矩阵，对角线上的元素就是矩阵的特征值，而相应的列向量就是对应的特征向量。由于计算较为繁琐，我在这里只展示了一个迭代的过程，实际应用中，需要进行多次迭代，直到满足精度的要求。